初中数学 · 相似三角形专题 · 面积关系证明

初三数学 · 平行线截三角形的面积关系（S₃=2√(S₁S₂)）

互动式图解 · 逐步推导 · 完整计算过程

步骤 1 / 6
阅读题目

先把图形条件翻译清楚

在 △ABC\triangle ABC 中，DE∥BCDE\parallel BC，EF∥ABEF\parallel AB。DD 在 ABAB 上，EE 在 ACAC 上，FF 在 BCBC 上。记 △ADE\triangle ADE、△EFC\triangle EFC、四边形 DEFBDEFB 的面积分别为 S1,S2,S3S_1,S_2,S_3，要证明 S3=2S1S2S_3=2\sqrt{S_1S_2}。

老师先问

两组平行线把大三角形切成了三块。这三块之间藏着什么关系？

学生可能会想

S1,S2S_1,S_2 是两个小三角形，S3S_3 是剩下的四边形，三块拼起来就是整个 △ABC\triangle ABC。

关键公式

DE∥BC,EF∥ABDE\parallel BC,\quad EF\parallel AB
S△ABC=S1+S2+S3S_{\triangle ABC}=S_1+S_2+S_3

逐行推导

  1. 1DE∥BCDE\parallel BC：△ADE\triangle ADE 与 △ABC\triangle ABC 形状相同
  2. 2EF∥ABEF\parallel AB：△EFC\triangle EFC 与 △ABC\triangle ABC 形状相同
  3. 3四边形 DEFBDEFB 的两组对边分别平行，是平行四边形
本步结论
主线：利用平行线找到相似三角形，用面积比搭桥，最后由 S=S1+S2+S3S=S_1+S_2+S_3 解出 S3S_3。